转眼，CoCo已经三周年了...... However,停更,Bug,限制...... ###### CoCo界面看的不舒服？ ##### 手机无法使用CoCo？ #### 自定义控件没法协作？ ### 自定义控件没法分享？ ## 别担心，Oldsquaw-CoCoPro来帮你！ # 匠心打造，功能+++++ **[What can it do?]** 1.美化界面，圆角，更舒服[由Suda贡献代码] 2.99.9%还原原版CoCo功能，支持登录与云端保存 3.全新添加CoCoClick，让手机用户也可添加控件[由小宏XeLa贡献代码] 4.内置仿真F12控制台Eruda，手机也可改元素/抓包拉[来自Github开源项目] 5.增加高级协作功能，专属协作链接，一键解决添加自定义控件无法协作问题 6.预置绕审核控件，完美快速解决自定义控件无法分享h5问题[由透明质酸钠贡献代码] 7.彩蛋、黑暗模式、控件商城......更多隐藏玩法，等你来探索！更多实用功能，敬请期待！ **【How to use?】** a.测试版链接：oldsquaw.rth10.com/1.5.0.html  (由于不可抗拒因素，使用需完成人机验证） b.正式版链接：run.oldsquaw.cn  (由于部署较慢，还未更新到最新版） **【What else?】** 1.日更版官网：https://oldsquaw.rth10.com 2.正式版官网：https://web.oldsquaw.cn 3.论坛：https://discuss.oldsquaw.cn 4.AI控件编写助手MaxWidget：https://chatglm.cn/share/FWVsd 【Who are we?】 我们是Oldsquaw团队， Gitee仓库：https://gitee.com/oldsquaw QQ群号：***907170983*** [鸣谢] 开发：耗子、小宏XeLa、Galaxy、透明质酸钠、Suda、琦琦 测试&支持：CoCo中控台、StarDreamNet、以及所有来自CoCo的小伙伴 赞助：Galaxy、旁观者JErS、飞飞N0MT、曦予、and so on...(由于时间久远，若有遗漏可私聊补充）

#引言 在初中数学学习中,一元二次方程的求解是一个较为繁琐的过程. 对于能在有理集内求解的方程,我们尚可采用十字相乘, 而对于只能公式法(或配方法)计算的方程,实在太过复杂. 然而笔者认为,对于一部分方程,我们可以采用一种较为简便的方法——瞪眼法. 下面就来介绍一下这种方法. >本方法只适合直接看出答案,过程需要根据实际情况组织. 不过由于我们知道`(x-x₁)(x-x₂)=0`,所以敷衍一个过程也是不难的. #一、原理 ##1.高斯(Gauss)引理 >两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 通过这个结论,可以证明:`一个整系数多项式,如果在有理数系上可以分解因式,那么它在整数系上也可以分解因式`(或见初中小蓝本《因式分解技巧》) ##2.艾森斯坦(Eisenstein)判别法 >给出下面的整系数多项式`f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₀` 如果存在素数p,使得 p不整除aⁿ ,但整除其他aᵢ,`(i=0,1,...,n-1)` ； p²不整除a₀ , 那么f(x) 在有理数域上是不可约的. 通过艾森斯坦判别法,我们可以求证一个整系数多项式不可约. ##3.韦达(Vieta)定理 >设一元二次方程`ax&sup2;+bx+c=0`中,两根x₁、x₂有如下关系: `x₁+x₂=-b/a,x₁x₂=c/a` 通过韦达定理,我们可以快速判断一元二次方程的有理根. ##4.余数定理 >我们用f(x)表示多项式`aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₀`,用f(a)表示这个多项式在x=a时的值.如果我们用一次多项式x-c做除式去除多项式f(x),那么余式是一个数.设商式为多项式Q(x),余式为r,则: `f(x)=(x-c)Q(x)+r` 令x=c,便得到:`f(c)=r` 因此,有`x-c除f(x)时,所得的余数为f(c)` 我们可以得到:`如果f(c)=0,那么x-c是f(x)的因式.` ##5.代数基本定理 >任何复系数一元多次多项式方程在复数域上至少有一根。 ##6.有理根 在4的条件下，`如果说f(c)=0,那么就说c是多项式f(x)的根.有理根c=p/q的分子p是常数项a₀的因数，分母q是首项系数aₙ的因数`（可见初中小蓝本《因式分解技巧》) #二、首1多项式 对于二次项系数为1的一元二次方程`x²+bx+c=0(b,c∈Z且b,c≠0)`,如何进行心算呢? （若无特别说明,本标题下所有方程都是这样的方程） 由韦达定理我们得知,方程的两个根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项. 那么首先考虑方程有有理数解,将c分解为两个整数之积. **如果无法确定如何分解x₁和x₂,可以将c分解质因数,然后进行尝试.** >如果`b>0,c>0`,则应分解为两个正整数. 如果`b<0,c>0`,则应分解为两个负整数. 如果`b<0,c<0`,则应分解为一个正整数,一个负整数,且正整数的绝对值小于负整数的绝对值. 如果`b>0,c<0`,则应分解为一个正整数,一个负整数,且负整数的绝对值小于正整数的绝对值. 例1:方程`x²+17x+60=0`,由于12+5=17,明显可以把60分解成12&times;5, 由此可以看出`x₁=-12,x₂=-5` 例2:方程`x²+20x-96=0`,由于24-4=20,可以把-96分解成24和-4.所以`x₁=-24,x₂=-4` >思考过程可以是这样: `b>0,c<0`,应分解为一个正整数,一个负整数,且负整数的绝对值小于正整数的绝对值. -96可以分解成1和-96,相加不等于20,舍去 分解成2和-48,相加不等于20,舍去 分解成3和-32,舍去 分解成4和-24,可取 方程只有两个解,后面无需再试. 再举一个不容易看出的例子:例3:`x²-20x-384=0` >我们用短除法分解质因数，过程略 384=2&times;2&times;2&times;2&times;2&times;2&times;2&times;3 让它们部分相乘，使乘积尽量接近(因为它们的差只有20) 尝试使3和3个2,4个2分别相乘,等于24和16,他们的差有点小了,再次尝试: 使3和4个2,3个2分别相乘,等于48和8,也要舍去,换个方向进行尝试: 使3和2个2,5个2分别相乘,等于12和32,它们的差等于20. 由于一次项系数是-20,且12和32一正一负,所以十字相乘应分解为`(x-32)(x+12)=0` (以上过程都可通过心算完成,或在草稿纸上完成) 所以`x₁=32,x₂=-12` 还有一种取巧的方法,通过尝试常数项是否为某数的倍数判断因式. >2的倍数:个位2,4,6,8,0 3的倍数:全部位数相加是3的倍数 5的倍数:个位5,0 7的倍数:无技巧,若都不是则可能为7的倍数 11的倍数:可以拆出x+10x(该特征较为明显) **如果方程没有有理数根且有实数根,一般只能通过常规方法进行求解.** 至于如何判断,一般使用艾森斯坦判别法. 如果方程没有实数解,如`x²+x+1=0`,这个方程没有实数根（`判别式Δ<0`）. 如果还想要求解方程,首先验证方程左边是否为分圆多项式. 如果是,只需找出式子所对应的本原单位根. >以本方程为例:`x²+x+1=(x³-1)/(x-1)` 因为`x³-1`有3个3次单位根: `cos(2π/3)+isin(2π/3)`,`cos(4π/3)+isin(4π/3)`,`1` 所以`x²+x+1=0`的两个根为 `x₁=cos(2π/3)+isin(2π/3)` `x₂=cos(4π/3)+isin(4π/3)` 只需化简. 如果不是,还可按照求根公式计算,不在本文讨论范畴. 根据上述内容,我们可以直接看出一些特定方程的解. #三、整系数多项式 对于一元二次方程的一般形式`ax²+bx+c=0(a≠0)`,要想进行十字相乘,有以下两种办法: 可以等式两边同除a,化为`x²+(b/a)x+c/a=0`,按照（二）的方法计算.但分数通常会增大计算难度. 因此我们采用另一种方法:直接因式分解. 实际上,对这种式子,十字相乘的操作略一些有复杂,因此通过余数定理求有理根进行因式分解. 理论是枯燥的,我们直接通过题目来尝试: 例4:`3x²+14x+8=0` >由（一）.1结论,我们主要考虑方程整数解: 对于多项式`3x²+14x+8` 首项系数3有因数±1,±3 常数项有因数±1,±2,±4,±8 由于多项式系数都为整,所以只需考虑负数根. 因此多项式有理根只能是-1,-1/2,-1/4,-1/8,-3,-3/2,-3/4,-3/8 根据判别法可以求出-3/2是根,所以多项式有因式3x+2,原式可分解为`(3x+2)(x+4)=0` 因此可以看出`x₁=-3/2,x₂=-4` > >换一种思路,`3x²+14x+8=3x²+2x+12x+8=x(3x+2)+4(3x+2)=(x+4)(3x+2)` 同样可以心算完成. 对于初中数学所考察的计算(尤其是有实际意义的),通常是数字比较"整齐"的,因此可以通过以上方法巧算. #四、二次根式/字母系数 对于系数含二次很是或者字母的一元二次方程,仍然可以通过以上两种方法进行求解,不过略有不同: 例5:`x²-(2√5+4)x+4√5+4=0` >这个式子二次项系数也是1,可以进行十字相乘. 明显将`4√5+4`分为`-(2√5+2)`与`-2`相乘 可以得出`x₁=2√5+2,x₂=2` 例6:`3ax²+3(4a-b)x-12b=0` >对于多项式`3ax²+3(4a-b)x-12b` 一次项系数为`3(4a-b)=12a-3b` 由于只有二次项含字母a,只有常数项含子母b,且二次项系数不含ab 只能有根(b/a),原式可分解为3(ax-b)(x+4) > >实际上,方程可以化为`ax²+(4a-b)x-4b=0` `ax²+4ax-bx-4b=0` `ax(x+4)-b(a+4)=0` `(ax-b)(x+4)=0` `∴x₁=b/a,x₂=-4` #结语 总之,本文内容虽然名为"瞪眼法",但更多的,是为一元二次方程的求解(不用公式法)提供各种思路. 实际上,瞪眼法只适合选填或者允许跳步的时候.在初中,过程分是存在的. 我们在答题的时候可以依据以上方法,先看出答案,然后一步十字相乘直接出结果. # >本文采用 [CC BY-SA 4.0 DEED](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ "CC BY-SA 4.0 DEED") 许可

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### 小结 经过了快一个月的修整，基于WordPress的个人博客**[https://codekpy.cloudroo.top/?p=25](https://codekpy.cloudroo.top/?p=25 "戳戳我")**终于完工辣。 这个博客使用腾讯云EdgeOne+雷池Waf+源站的搭建模式，访问流量应该不是很大，所以用一台小机应该也够了吧。 ### 缺点 因为WordPress这个项目做得十分完善，导致其中的引用资源十分庞大，非常考验腾讯EO的缓存设置和源站的性能，有的时候编辑一下博客内容都会白屏，不过在访问流量小的情况下基本也够用了。

对于三角形面积和边的关系 我们都了解过海伦公式： `S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^（1/2）` `p=(a+b+c)/2` 这说明，三角形的面积与边之间有唯一确定的关系 而在全等三角形ASA中，我们知道，已知两角和夹边可以确定一个三角形 可以推测 如果能够确定两角及其夹边，就一定能够确定面积和另一边长 #推导 如图，在锐角△ABC中，过A作AP⊥BC，AB=c,AC=b,BC=a,AP=h  由三角形面积公式得： S=（1/2）ah 在Rt△ABP中，AP=AB·sinB 即h=c·sinB 代入面积公式，得： ` S=（1/2）ac·sinB` 同理，对另外两边做垂线，可以得出 `S=（1/2）ab·sinC` `S=（1/2）bc·sinA` 而三角形面积一定，因此有：` （1/2）ac·sinB=（1/2）ab·sinC=（1/2）bc·sinA` 同除（1/2）abc，整理（倒过来）得： b/sinB=c/sinC=a/sinA 即`AB/sinC=AC/sinB=BC/sinA`  这也就是“正弦定理”（人教B版必修四） >对钝角三角形，结合诱导公式，可作同样推导，结论相同。 诱导公式，即三角函数角度不为锐角（≥90或≤0时的转换公式） #应用 这是今年的北京中考几何压轴，被众多同学评价为“有难度”  实际上，应用上面的推论，结合倒角，这道题可以迎刃而解 连接CD ,∠A=α，设∠DBN=β 容易得出： ∠ABC=2α-β ∠DCB=α ∠ECD=2α-β ∠EFD=α 显然，DE=EF·sin（∠EFD)=EF·sinα 而DE/sin（∠ECD)=CD/sin(90-∠EFD) 由诱导公式sin(90-α)=cosα，整理上式得：DE·cosα=CD·sin(2α-β) 即EF·sinα·cosα=CD·sin（2α-β） 实际上，CD=2·BC·cos（∠DCB) 得BC=CD/2·cosα 而BC/sinA=AC/sin(∠ABC) 代入BC，得CD/2·sinα·cosα=AC/sin(2α-β) 即CD·sin(2α-β)=AC·2·sinα·cosα 根据EF·sinα·cosα=CD·sin（2α-β） 得EF·sinα·cosα=AC·2·sinα·cosα 所以EF=2AC，证毕。 # 注：北京西城二模也适用本方法，本题并不非常适合建系法